미적분에서의 증가상태, 감소상태
함수 f(x)와 충분히 작은 양수 h에 대하여
① f(a-h) < f(a) < f(a+h)이면 함수 f(x)는 x = a에서 증가상태에 있다.
② f(a-h) > f(a) > f(a+h)이면 함수 f(x)는 x = a에서 감소상태에 있다.
그리고 도함수의 부호와 증가상태, 감소상태를 연결시키기 위해 다음의 정리가 뒤따릅니다.
함수 f(x)가 x = a에서 미분가능할 때
① f ’(a) > 0이면 함수 f(x)는 x = a에서 증가상태에 있다.
② f ’(a) < 0이면 함수 f(x)는 x = a에서 감소상태에 있다.
마지막으로 도함수의 부호로 파악한 증가상태, 감소상태를 구간에서의 증가, 감소로 확장하기 위해 다음과 같은 정리에 도달합니다.
함수 f(x)가 열린 구간 I에서 미분가능할 때
① 구간 I에서 f ’(x) > 0이면 함수 f(x)는 열린 구간 I에서 증가한다. (∵함수 f(x)가 구간 I에 속하는 모든 점에서 증가상태이므로)
② 구간 I에서 f ’(x) < 0이면 함수 f(x)는 열린 구간 I에서 감소한다. (∵함수 f(x)가 구간 I에 속하는 모든 점에서 감소상태이므로)
교육과정
저는 7차세대 교육과정 였고, 증가상태, 감소상태라는 것에 익숙했지만 위에 있는 내용에 익숙하지만
이 내용은 2009 교육과정 에서 빠졌습니다.
이 것이 일어난 것은 하나의 논문때문인데
서울대 계승혁 교수님, 세종대 하길찬 교수님이 작성하신 논문이 나오고서부터입니다.
(우리나라 고등학교 수학 교과서에서 함수의 증감과 극대·극소를 설명하는 방식에 대한 비판적 논의)
이 논문에서 밝히기를 80년대에도 4차 교육과정 교과서를 지적하신 교수님도 계셨고,
2009년 타 논문에서 이공계열 대학 신입생을 대상으로 함수의 극값과 관련된 문제에서 오류를 범하는 원인을 조사한 결과,
대부분이 정리를 곡해하거나 극값의 정의를 정확하게 설명하지 못하는 데에서 기인한 다는 것을 밝혔다고 하는 내용이었습니다.
그러면 이게 왜 문제이냐하면 일단 간단하게 3점을 얘기하자면
1. 증가상태, 감소상태를 정의하기가 명확하지 않다.
2. 증가, 감소의 정의와 충돌한다.
3. 증가상태, 감소상태의 정의와 그로 파생된 따름 정리 사이에 모순이 생깁니다.
이 점입니다.
이 것에 대해서 서술하는 것이 이 논문의 내용이고,
마지막으로 모순이 생기되는 것에 대해서 논문에서 준 예시의 식에 대해서 보여드리겠습니다.
함수 f(x)가 x = a에서 증가상태라면 충분히 작은 양수 h에 대해 f(a-h) < f(a) < f(a+h)가 성립
이때, 함수 f(x)가 구간 [a-h, a+h]에서 증가한다고 받아들이게 되며
논문에 있는 예시를 가져오면
이걸 미분계수의 정의에 따라 0에서의 미분계수를 구하면
f ’(0) > 0이므로 함수 f(x)는 x=0에서 증가상태이므로
f(-h) < f(0) < f(h)가 성립하도록 하는 충분히 작은 양수 h가 존재할 것이고,
함수 f(x)는 구간 [-h, h]에서 증가할 것이며, 구간 [-h, h]에서 f ’(x) ≥ 0가 성립하겠지만
f ’(0) > 0이므로 함수 f(x)는 x=0에서 증가상태이므로
f(-h) < f(0) < f(h)가 성립하도록 하는 충분히 작은 양수 h가 존재할 것이고,
함수 f(x)는 구간 [-h, h]에서 증가할 것이며, 구간 [-h, h]에서 f ’(x) ≥ 0가 성립하겠지만
하지만 x ≠ 0일 때의 도함수 에을 대입시에 f ’(x) < 0이 되어버리고
양수 h를 아무리 작게 잡아도 구간 [-h, h] 안에서 f ’(x) < 0이 되는 경우가 나타납니다.
이와 같은 이유로 0 근방에서 한없이 진동하게 되고 정의에 예외가 되는 경우가 생겨서
증가상태와 감소상태는 정의가 될 수 없습니다.
그리고 이 내용이 고등학교 기초 미적분학관력쪽에 빠지면서
도함수의 부호와 함수의 증가, 감소 사이의 관계를 설명하기 위해 평균값의 정리를 배우게 되었습니다.
이해 했죠??