참조> https://bbs.ruliweb.com/family/3094/board/181035/read/9504347
이건 셔플 페스티벌이라 자기 노래 대신 남의 노래만 불러야 하죠. 이때 나오는 가짓수를 세는 방법을 조합론에서는 완전순열/교란순열이라 부릅니다. 전 신경과학 전공임에도 불구하고, 전기생리 및 인지기능 쪽을 주로 파고 있어서 프로그래밍이나 수학도 건드리고 있는 중입니다. 그래서 저걸 보고 완전순열 (complete permutation)이 생각났습니다.... 수학 문제집 등에서 "모자를 다 벗어놓았다가 아무렇게나 집어썼을 때 자기 모자가 아닐 경우의 수는?"이라고 나오는 겁니다. n개의 원소를 갖는 집합 S에서, 그 n개의 원소에 대한 완전순열의 가짓수는 !n이라 씁니다.
간단하게 생각한다면, n = 1이면 당연히 셔플이 없으므로 0이 되겠죠.
n = 2라면 원래의 순열에서 엇갈리지 않은 가짓수를 빼야 하므로 (2!/0!) - (2!/1!) + (2!/2!)이 될 겁니다.
n = 3이라면 포함배제 원리에 입각하여 원래의 순열에서 한 번 이상 안 엇갈린 가짓수를 빼고, 여기에 두 번 이상 안 엇갈린 가짓수를 더해야 하므로 (3!/0!) - (3!/1!) + (3!/2!) - (3!/3!)이 될 겁니다. 자세한 것은 여기로...
(https://mathworld.wolfram.com/Derangement.html)
여기서는 시오코쨩까지 더해져서 n = 10 이므로, 엇갈리는 가짓수를 뺐다 더했다 해야 하므로 !10 =
(10!/0!) - (10!/1!) + (10!/2!) - (10!/3!) + (10!/4!) - (10!/5!) + (10!/6!) - (10!/7!) + (10!/8!) - (10!/9!) + (10!/10!)이 됩니다. 계산해보면 1,334,961가지의 경우가 나오더군요. 물론 괴롭히기 때문에 실제로 거론될 경우의 수는 압축되겠지만..... (각종 처형곡 네타들 때문이죠. 스타라이트라든가, 다이아몬드라든가, 토키삐뽀 이모션이라든가...)
어쨌든 전 아유무 - 결의의 빛, 카스미 - 당신의 이상적인 히로인, 시즈쿠 - 토키삐뽀 이모션, 카린 - 다이아몬드, 아이 - 잠의 숲 속으로 가고 싶어, 카나타 - 신나게 고잉, 세츠나 - 꿈으로의 한걸음, 엠마 - 스타라이트, 리나 - 에버그린, 시오리코 - 체이스! 와 같이 했습니다.
혐짤을 보여드리어 죄송합니다. 특히 여기 있는 수학 관련 전공자분들....ㅠ
PS1> 다시 읽어봤는데 0!부터 시작해야 합니다. n = 2 인 경우에서 가짓수가 왜 0이 나오지? 하고 고민하다 보니까 0!부터 시작해야 되는 걸 까먹었군요.
PS2> 그리고 다시 앙케이트 조사 페이지로 들어가서 확인해 봤는데, 중복선택이 가능합니다. 즉 카린, 시오리코 - 토키삐뽀 이모션과 같은 선택이 가능하더군요..... 그러면 계산은 더 쉬워집니다. 가짓수는 더 많아지지만요.
개별 선택에서, 한 멤버가 두 노래를 선택할 수는 없으므로 정의역은 멤버들이고 치역은 노래 제목인 함수가 되기에 가능한 함수의 개수를 따지면 셔플을 고려하지 않고 가능한 가짓수는 10^10개입니다. 그렇지만 여기에서는 한 멤버가 자기 노래를 뺀 노래들 중 하나만을 선택할 수 있으므로 결국 가능한 가짓수는 9^10개가 되더군요. 계산해보면 앞의, 교란순열로 계산한 것보다 훨씬 많은, 3,486,784,401가지나 되는 경우의 수가 나옵니다. 물론 대부분의 분들은 교란순열 형식으로 선택하신 것 같고, 저도 그렇게 선택했는데다 실제로는 처형곡 네타라든가, 각종 합리적인 기준에 따라 선택된 가짓수가 많을 것이기에 저 많은 가짓수가 다 나올 수는 없을 겁니다.
수포자라 잘 모르겠지만 아무튼 셔플 가짓수가 엄청 많이 나오는군요ㅋㅋㅋ
원래 조합론 자체가 숫자가 조금만 올라가도 가짓수가 미친듯이 불어납니다. 그리고 다시 읽어보니까 잘못 쓴 부분이 있어서 고쳤습니다.