[질문] 수학 질문 드립니다

[DQN코마]

S(n)을 {1,2,3...n}에서 {1,2,3...n}으로 가는 일대일 대응 함수들의 집합이라 하자.

여기서 합성을 *라 하자.

n이 3 이상인 경우 S(n)의 임의의 원소 a에 대해 a*b=b*a  (b∈S(n))이면

b는 항등함수로 유일함을 증명하라.

답이 무엇인지 알 수 있을까요

[데엔드로]

한글인데 이해가 안간다요... ㅠㅠ

[FinKLain]

증명 문제에서 답이라고 함은 그 과정을 다 설명해야 하는거라..

[죠리퐁☆죠스바]

네이버 지식인 쪽에 묻는게 낫지 않을까요?

[공룡쟝]

이거 집합론에서 배운거 같은데

[공룡쟝]

b가 항등함수일 필요가 없지 않나?

[데스피니스]

항등함수가 아닌 b가 존재한다고 하자.... 라고 놓고 모순임을 찾아야 하려나

[데스피니스]

아니네 b가 a의 역함수일때는 항등함수가 아니어도 되는구나
그러면 임의의 a에 전부다 적용되는 b가 항등할수밖에 없다고 보여야 하려나

[루리웹-2533335882]

ㄴㄴ 같은 함수의 임의의 원소임

[데스피니스]

그냥 a*b=b*a이려면 서로 역함수 아니면 둘중 하나가 항등함수이다.
라고 해놓고 임의의 a에 대해서 전부다 되려면 항등함수일수밖에 없다 하고 끝내야 하려나

[데스피니스]

ㅇㅇ오랜만에 이런거 봐서 무에서 다시 문제 파악하는 중임

[귀뚜라미]

항등함수가뭐였지

[루리웹-7764983862]

해석학 듣는 수학과 유게이임? ㄷㄷ

[루리웹-2533335882]

만약 항등함수가 아니면 l≠m이면서 l->m, m->l을 만족시키는 숫자쌍이 반드시 있어야 합니다.
m->k(l≠m≠k)라면 a*b랑 b*a랑 다르고 전부 똑같으면 항등이니깐요
그래놓고 k에 대해 a=k, b=l로 두면 k->l일 경우 일대일 대응이 아니고 k->l이 아니면 a*b=b*a이 아닙니다.

[어흥염1]

이 문제의 핵심은 함수가 아니고 ”교환법칙“이라 생각되네요.
S(n)은 대칭군을 이루는데, 이 문제는
“n이 3이상 자연수일때 대칭군 S(n)의 중심(center)이 자명(trivial)한가“를 묻는 문제로 생각됩니다.. 저는 군론에 대해서 확실히 아는것도 아니라서 정확히 증명을 해드리긴 어려울 것 같아요.
이 문제를 해결하려면 군론에 대한 지식이 필요할것 같기도 해서 주변에 대수학을 공부한 적이 있는 분이 계시면 물어보는 것도 좋을 것 같습니다..

[별윗너울]

1. a1, a2 를 S(n) 의 원소인 함수, a1(x) != a2(x) for all x in 1 ~ n with x != y where a1(n) = a2(n) = y 로 설정
2. a1 * b (n) = b * a1 (n) -> a1(b(n)) = b(y)
3. Itsw a2(b(n)) = b(y)
4. 모순이 아니려면 b(n) = n & b(y) = y
5. y 는 1. 에서 a1, a2 를 어떻게 설정하냐에 따라 1 ~ n 모든 값을 아우르는게 가능하므로 for every y in 1~n, b(y) = y

* 1. 에서 설정한 대로의 함수를 S(n) 에서 찾을 수 있음에 대한 증명은 스스로 생각해보세요

** 꽤 단순한 형태에 생각하기 쉬우라고 정의역 치역 전부 자연수에 몰아넣은 문제이니, 수업이라면 조교나 교수를, 독학이라면 공부하는 책의 해답서와 예제들을 참조해 풀이에 필요한 사고방식을 익혀두세요

[별윗너울]

아 맨 처음 1. 에서 x != n
쓰다가 잘못 썼네