그래서, 어떻게 하면 이런 함수를 구할 수 있을까?
원함수가 도함수와 거의 같은 형식이 되는 거라면 역시 생각나는게 지수함수밖에 없네
맞아, 통칭 y'=ky 로 표현되는 이런 방정식을 미분방정식이라고 부르지
다만 여기선 y''=gy 가 되지만 말야
가장 직관적이고 간단한 방식으로 표현하자면 y = e^x√g가 되려나
일반적으로 생각하면 그렇겠지, 그런데 하나 허점이 있어
허점?
방금 말한 지수함수를 한번 미분한, 그러니까 속도의 그래프를 생각하면
x=0일때 y값은 √g가 되지, 하지만 이상하지 않아? 맨 처음 상황에서 사슬의 속도는 0일테니
함수값을 보정하기 위해 속도 방정식을 √g(e^x√g-1) 로 한다면 어떨까?
미분해서 가속도 영역으로 가면 상수항이 없어지니 상관없겠지, 하지만 길이로서 적분하면?
.....다항식으로서 -x√g가 생겨버리네 으음.....
이차 도함수가 대상인 미분방정식이 이래서 골때리지, 그래서 상수항으로 보정할 순 없어
그럼 어떻게 해야 지수함수를 유지하면서 도함수값을 보정할 수 있을까?
'지수함수에 대응하는 가장 유효한 수단은 또다른 지수함수를 전개하는 것이다'
응?
'밑이 1보다 작은 지수를 미분해 음의 값이 될 때, 양의 함수값과 소멸해 0이 된다'
갑자기 이상한 그림체로 바뀌지 말고 자세하게 설명을 해줘....
말 그대로야
e^x + (1/e)^x, 그러니까 e^x + e^-x를 미분해서 x=0을 적용해봐
지수의 -값이 아래로 내려오니깐.....e^x - e^-x가 되서 0이 되네!
그래서 정확한 방정식은 y = 0.5L(e^x√g + e^-x√g)가 되지,
계수를 제거한 버전은 현수선 이라고 부르고
그러면 이제 사슬 전체가 막 절벽 밑으로 떨어지는 순간의 속도를 구할 수 있겠지?
굳이 시간(t값)을 구하지 않아도 되는구나, √g(L^2-l^2)가 되네
맞아, 그런데 그거 알아? 물리쪽으로는 보다 더 쉽게 구할 수 있어
물리쪽으로....?
바로 에너지 보존 법칙! 이걸 이용하면 허망할 정도로 쉽게 답이 나오지
난 지금까지 뭘 위해 이렇게 헛된 시간을.....
전혀 헛된게 아니지, 사슬이 전부 떨어지는 시점 뿐만이 아닌 임의의 시간에 대한 속도를 구할 수 있잖아?
그래서 처음에 다들 알고 있으면서 왜 미적분을 싫어하는지 물어본 거구나
사실 지금 우리가 배우는 미적분은 뉴턴이 역학을 정립하면서 역설계한 개념에 더 가까우니깐
그나저나 썸네일로 내 그림을 올린 건 어째서일까?
현수선 그래프를 실제 스케일로 그려보면 하이래그 라인과 비슷하게 생겨서.....?
내 옷을 그런 눈으로 봤던 거구나......
아츠코 야해
헉. 노트 글씨 꺠진줄 알았어요!
초1 시절부터 담임선생님이 포기한 악필ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ (그래서인지는 몰라도 수식으로 대충 따잇이 되는 수학이 더 친근했던 걸지도?)
그 아픔 나도 알지!