[잡담] 채찍피티 계산 물어보면 잘 해주네

[27gl850]

주어진 조건에 따라 마키아토를 두 번 획득하기 위한 평균 뽑기 횟수를 계산해 보겠습니다.

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문제의 조건

1. 픽업 확률 $p=0.006$p=0.006
2. 반천장(80회): 50% 확률로 픽업 캐릭터를 획득. 실패 시 천장(160회)에서 반드시 픽업.
3. 천장(160회): 확정적으로 픽업 획득.
4. 독립적으로 두 번의 픽업을 획득해야 합니다.

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계산 절차

1. 한 번 픽업 획득에 필요한 평균 뽑기 횟수 계산

픽업을 얻는 경로는 크게 세 가지입니다:

1. 확률적으로 픽업을 얻는 경우 (80회 이전):

   • $p=0.006$p=0.006의 기하 분포로 계산.
   • 픽업 확률 누적 성공 확률:$P\left(\text{80회 내 성공}\right)=1-(1-p{)}^{80}=1-(1-0.006{)}^{80}\approx \mathrm{0.393.}$P(80회 내 성공)=1−(1−p)80=1−(1−0.006)80≈0.393.

2. 반천장에서 픽업을 얻는 경우 (80회):

   • 실패한 경우 50% 확률로 반천장에서 픽업 성공.

3. 천장에서 픽업을 얻는 경우 (160회):

   • 반천장 이후 실패했을 때 추가로 $160-80=80$160−80=80회의 뽑기가 필요.

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2. 평균 뽑기 횟수 계산

픽업 한 번을 얻기 위한 평균 뽑기 횟수는:

$E_1=P\left(\text{80회 내 성공}\right)\cdot E\left(\text{80회 내}\right)+P\left(\text{반천장 성공}\right)\cdot 80+P\left(\text{천장}\right)\cdot 160.$E1 =P(80회 내 성공)⋅E(80회 내)+P(반천장 성공)⋅80+P(천장)⋅160.

• 첫 항: 80회 내 픽업 성공의 평균 횟수

  $E\left(\text{80회 내}\right)=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.006}\approx \mathrm{166.67.}$E(80회 내)=p1 =0.0061 ≈166.67.

  $P\left(\text{80회 내 성공}\right)=0.393$P(80회 내 성공)=0.393이므로:

  $0.393\cdot 166.67\approx \mathrm{65.5.}$0.393⋅166.67≈65.5.

• 둘째 항: 반천장에서 성공 (50% 확률로 80회 소모)

  $P\left(\text{반천장 성공}\right)=0.5\cdot (1-P(\text{80회 내 성공}\left)\right)=0.5\cdot (1-0.393)=\mathrm{0.3035.}$P(반천장 성공)=0.5⋅(1−P(80회 내 성공))=0.5⋅(1−0.393)=0.3035.$0.3035\cdot 80\approx \mathrm{24.28.}$0.3035⋅80≈24.28.

• 셋째 항: 천장에서 성공
  실패 확률은 $P\left(\text{천장}\right)=1-P\left(\text{80회 내 성공}\right)-P\left(\text{반천장 성공}\right)$P(천장)=1−P(80회 내 성공)−P(반천장 성공):

  $P\left(\text{천장}\right)=1-0.393-0.3035=\mathrm{0.3035.}$P(천장)=1−0.393−0.3035=0.3035.$0.3035\cdot 160\approx \mathrm{48.56.}$0.3035⋅160≈48.56.

$E_1=65.5+24.28+48.56\approx 138.34\text{회}.$E1 =65.5+24.28+48.56≈138.34회.

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3. 두 번째 픽업 획득까지의 평균 뽑기 횟수

마키아토를 두 번 뽑아야 하므로, 동일한 평균 횟수를 독립적으로 두 번 더합니다:

$E\left(T\right)=E_1+E_1=138.34+138.34=276.68\text{회}.$E(T)=E1 +E1 =138.34+138.34=276.68회.

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최종 결과

• 두 번 마키아토를 얻기 위한 평균 뽑기 횟수: 약 277회

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요약

천장과 반천장 시스템 덕분에 픽업 확률이 낮더라도 평균 뽑기 횟수가 비교적 안정적입니다. 두 번의 획득을 위해 평균적으로 약 277회가 필요합니다.

반천장 천장 개념도 알고 가챠계획 세우기에 좋은걸 이놈

[삼손 빅]

[[MAGIC]]

1.5천장은 찍어야 한단거네

[촉법소년]

누구나 그럴싸한 계획은 있다