27화 : 미분하고 적분해도 원래대로 돌아오지 않는 경우
원래 오늘 할 주제 생각해둔게 있었는데 마침 베스트에 뭔가 올라와서 갑자기 주제를 변경해봄
저 문제 해설글도 올라왔으니 저 문제 풀이를 할 생각은 없고 단지 처음 글 댓글들에 올라온 "수학이 무엇인가" 에 대한 이야기.
결론부터 말하자면 이 문제는 굉장히 수학적인 문제임.
이 표는 미국수학회에서 정한 수학 주제 분류 (MSC)의 일부분을 발췌한 것으로, 보면 애초에 논리학과 연관된 분야가 "03-수리논리학 및 기초론"이라는 대분야로 설치되어 있음을 알 수 있음.
즉 "수학이 아니라 논리문제네" 하는 말 자체가 성립한다고 보기 힘듦. 애초에 논리 문제 중 일부는 수학에서 다루는 영역이니까. 좀 더 극단적으로 말하자면, 기호 논리학은 수학의 일부분이고, 수학의 기틀은 기호 논리학임. 이렇게 된 것에는 프레게, 러셀, 칸토어, 겐첸, 괴델, 부르바키 등의 영향이 있다고 할 수 있고, 좀 양념을 쳐서 말하자면 이 사람들이 현대 수학을 현대 수학으로 만든 사람들이라고 할 수 있음. 물론 이에 대해서 제대로 논하려면 그 전에 나오는 엡실론 델타 논법 등을 기반으로 한 해석학의 엄밀화 등 부터 언급하기 시작해야 하지만 아무튼.
애초에 현대 수학은 "수"가 중심에 있는 것이 아니라 "논리"와 "증명"이 중점에 있음. 그런데 보다 보면 "수학 = 계산"으로 생각하는 사람들이 많이 보이는데, 개인적으로 "수학"이라는 단어의 번역 문제가 원인이 아닐까 싶음.
수학의 영어 단어에 해당하는 Mathematics를 보면 애초에 "수"와 전혀 연관이 없음. "수"에 해당하는 number와 관련된 것은 number theory (수론)이 수학의 한 분야로 있을 뿐임. 이 Mathematics 단어는 고대 그리스 어에서 온 단어로, 번역하면 "배우는 모든 것" 같은 의미의 단어임. 그런데 이 단어가 번역 되면서 수학이 된 이유는 예전에 주워듣기로는 동양에서 쓰이던 "산학"에 대응되는 표현으로 "수학"이라는 표현이 채택되었다고 들었는데, 그 사실이 맞다면 현대에 와서는 아쉬운 번역이 된 셈.
이러한 연유로, 저 문제는 굉장히 수학적인 문제라고 할 수 있음. 비슷한 사례로는 사형수 번호 맞추기 문제
사형수 n명한테 1에서 n까지 번호가 붙어 있고, 마찬가지로 1에서 n까지 번호가 들어있는 n개의 상자가 옆 방에 놓여 있다. 여기서 n명의 사형수가 한 명씩 방으로 들어가 최대 n/2개의 상자를 열어볼 수 있고, 모든 사형수가 그 n/2 개 중에서 자기 번호를 찾는다면 사형이 면제된다. 이 과정에서 사형수들은 자기가 열어본 상자의 정보 등을 공유할 수 없다. 이들은 몇 퍼센트 확률로 사형을 면제받을 수 있을까?
라든가 사형수 모자 색깔 맞추기 문제
사형수 n명이 줄지어 서있고 각자 흰색이나 검정색 모자를 쓰고 있다. 맨 뒤 사람부터 차례대로 흰 색, 검은 색 중 한 색을 말해서 그 색이 자신의 모자 색과 일치하면 사형이 면제되고 아니면 집행된다. 이 때, 최대 몇 명이 안정적으로 사형이 면제될 수 있는가?
같은 문제가 있음. 이 문제들은 나중에 자세히 다루던가 할지도 모르니 자세한 것은 생략하면, 사형수 번호 맞추기 문제는 순열의 사이클 분할과 관련이 있고, 사형수 모자 색깔 맞추기 문제는 이 문제를 막 별의 별 방법으로 확장하여 무한히 많은 사형수에 색깔도 무한히 늘리고 하는 식의 문제를 선택 공리를 이용해서 해결하는 방식까지 가다보니
실제로 이에 대한 논문도 좀 있는 문제기도 함.
1. 논리 펴즐 문제는 수학 문제라고 할 수 있다.
2. 현대 수학은 "수"보다 "증명"에 관심을 두고 있는 분야이다.
3. 뭔가 쓸 거리 베스트에 던져줘서 고맙다. 앞으로도 자주 부탁한다.
그래서 정답이 뭐임
해설글에 있는 대로 8월 14일이 맞음
그렇군
죄수문제 루프 만들어서 풀었던거 개신기했는데...
수능풀때 과탐에서 퍼즐문제때문에 애먹었었는데 알고보니 수학문제였군요.....